Temel Olasılık: Kümeler, Olaylar ve Her Zaman İşe Yarayan Üç Kural

Olasılık bir olayın ne kadar muhtemel olduğunu ölçer. Resmi tanım: P(A) = (A'daki sonuç sayısı) / (eşit olası toplam sonuç sayısı). Bu kesir temel olasılığın tamamıdır. Zor olan, problem tanımı sayımı zorlaştırdığında sonuçları doğru saymaktır.

Örneklem uzayı ve olaylar

Örneklem uzayı S, tüm olası sonuçların kümesidir. A olayı, S'nin herhangi bir alt kümesidir. Adil bir zar için S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 'Çift sayı gelme' olayı A = {2, 4, 6}'dır. P(A) = 3/6 = 1/2.

Üç temel kural

• Tümleyen kuralı: P(A olmaz) = 1 − P(A). Bir şeyin OLMAMA olasılığını hesaplamak çoğu zaman daha kolaydır.
• Toplama kuralı: P(A veya B) = P(A) + P(B) − P(A ve B). Çıkarma, hem A hem B'deki sonuçların çift sayılmasını önler. A ve B aynı anda gerçekleşemiyorsa (birbirini dışlayan) P(A ve B) = 0.
• Çarpma kuralı: P(A ve B) = P(A) · P(B|A). A ve B bağımsızsa P(B|A) = P(B) olur ve bu P(A) · P(B)'ye basitleşir.

Kombinasyon ve permütasyon

Sıra önemliyse permütasyon kullan: P(n,k) = n! / (n−k)!. Sıra önemli değilse kombinasyon kullan: C(n,k) = n! / (k! · (n−k)!). Komite, iskambil eli veya grup seçme hakkındaki olasılık problemlerinin çoğu kombinasyon kullanır çünkü seçilen kişiler önemlidir, listelenme sıraları değil.

Çözümlü örnek: piyango

Bir piyango 1'den 49'a kadar 6 sayı çekiyor. P(6'ya da uymak) = 1 / C(49,6) = 1 / 13.983.816 ≈ 0,0000000715. C(49,6) = 49! / (6! · 43!) = 13.983.816. Kombinasyon formülü sayımı üstlenir; olasılık o sayının 1 böleni olur çünkü kazanan yalnızca bir kombinasyon.

Koşullu olasılık ve bağımsızlık

P(B|A), A zaten gerçekleşmişken B'nin olasılığıdır. P(B|A) = P(A ve B) / P(A). İki olay, birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmemesi durumunda bağımsızdır: P(B|A) = P(B). Bağımsız olaylar birbirini dışlayan olaylarla aynı değildir — birbirini dışlayan olaylar maksimum bağımlıdır (biri gerçekleşirse diğeri gerçekleşemez).

Olasılık soruları, öğrencilerin kombinasyon formülünü soyut bulduğu yerdir. Solvequill, C(n,k) formülünü diyagramlar ve anlatımla görsel kılacak çalışılmış bir sayım argümanı gösterebilir.