Temel Olasılık: Kümeler, Olaylar ve Her Zaman İşe Yarayan Üç Kural

Olasılık bir olayın ne kadar muhtemel olduğunu ölçer. Resmi tanım: P(A) = (A'daki sonuç sayısı) / (eşit olası toplam sonuç sayısı). Bu kesir temel olasılığın tamamıdır. Zor olan, problem tanımı sayımı zorlaştırdığında sonuçları doğru saymaktır.

Örneklem uzayı ve olaylar

Örneklem uzayı S, tüm olası sonuçların kümesidir. A olayı, S'nin herhangi bir alt kümesidir. Adil bir zar için $S=1,2,3,4,5,6{.}^{\prime }\stackrel{\backslash c}{C}iftsayıgelm{e}^{\prime }olayıA={2,4,6}^{\prime }dır$. $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

Üç temel kural

• Tümleyen kuralı: $P(Aolmaz)=1-P(A)$. Bir şeyin OLMAMA olasılığını hesaplamak çoğu zaman daha kolaydır.
• Toplama kuralı: P(A veya $B)=P(A)+P(B)-P(A$ ve B). Çıkarma, hem A hem B'deki sonuçların çift sayılmasını önler. A ve B aynı anda gerçekleşemiyorsa (birbirini dışlayan) P(A ve $B)=0$.
• Çarpma kuralı: P(A ve $B)=P(A)$· P(B|A). A ve $Bba\breve{g}ımsızsaP(B|A)=P(B)$ olur ve bu P(A)· P(B)'ye basitleşir.

Kombinasyon ve permütasyon

Sıra önemliyse permütasyon kullan: $P(n,k)=n$! / (n-k)!. Sıra önemli değilse kombinasyon kullan: $C(n,k)=n$! / (k! · (n-k)!). Komite, iskambil eli veya grup seçme hakkındaki olasılık problemlerinin çoğu kombinasyon kullanır çünkü seçilen kişiler önemlidir, listelenme sıraları değil.

Çözümlü örnek: piyango

Bir piyango 1'den 49'a kadar 6 sayı çekiyor. $P(6^{\prime }yadauymak)=\frac{1}{C(49,6)}=\frac{1}{13.983}.816$$\approx 0,0000000715.$ $C(49,6)=49!/(6!\cdot 43!)=\mathrm{13.983.816}$. Kombinasyon formülü sayımı üstlenir; olasılık o sayının 1 böleni olur çünkü kazanan yalnızca bir kombinasyon.

Koşullu olasılık ve bağımsızlık

P(B|A), A zaten gerçekleşmişken B'nin olasılığıdır. P(B | A) = P(A ve B)P(A). İki olay, birinin gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirmemesi durumunda bağımsızdır: P(B|A) = P(B). Bağımsız olaylar birbirini dışlayan olaylarla aynı değildir — birbirini dışlayan olaylar maksimum bağımlıdır (biri gerçekleşirse diğeri gerçekleşemez).

Olasılık soruları, öğrencilerin kombinasyon formülünü soyut bulduğu yerdir. Solvequill, C(n, k) formülünü diyagramlar ve anlatımla görsel kılacak çalışılmış bir sayım argümanı gösterebilir.