Solvequill Blog · math · 3 dk okuma · 7 görüntülenme

12 cm'lik kartondan en büyük hacimli kutu nasıl çıkar?

Klasik bir optimizasyon sorusu. Zor kısmı türev almak değil, hacmi tek değişkenle yazmak ve kabul edilebilir aralığı fark etmek.

Yayın tarihi: 25 Ağustos 2026

Ders yükleniyor…

Bu soruyu Solvequill'in anlattığı ders.

Soru

Kenar uzunluğu 12 cm olan kare şeklindeki bir kartonun dört köşesinden kenarı x olan kareler kesiliyor, kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan x değerini ve bu hacmi bulunuz.

Hacim

x = 2^{'} d e

tepe yapıyor ve iki uçta da sıfıra iniyor.

Önce neyi fark etmeli

Hacmi tek bir değişkenle yazabilmek her şeyi çözer. Kesilen karenin kenarı x ise, katlanan yükseklik de x olur ve taban kenarı her iki taraftan x kadar kısalır — yani 12 - 2x. Ayrıca $0 < x < 6 o l ma l ı, \overset{c}{\c} \overset{u}{¨} nk \overset{u}{¨} x = 6$ tabanı tamamen yok eder.

Adım adım çözüm

Hacmi x cinsinden yaz:

V (x) = x (12 - 2 x)^{2}, 0 < x < 6

Türevi al. Çarpım kuralını uygularken ortak çarpanı dışarı almak, kökleri görmeyi kolaylaştırır:

V^{'} (x) = (12 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (12 - 2 x) (- 2)

Ortak çarpan (12 - 2x) parantezine al:

V^{'} (x) = (12 - 2 x) [(12 - 2 x) - 4 x] = (12 - 2 x) (12 - 6 x)

Kökler $x = 6$ ve $x = 2$ . $x = 6$ aralığın dışında ve hacmi sıfır yapar, dolayısıyla tek aday $x = 2$ :

V (2) = 2 (12 - 4)^{2} = 2 \cdot 64

Cevap

x = 2 cm, V_{m a x} = 128 cm^{3}

Uç noktaları kontrol et: x → 0 ve x → 6 için hacim sıfıra $g i d er, y ani x = 2$ gerçekten maksimum. İkinci türev almaya gerek kalmaz.

Bu soruda en sık yapılan hata

İzlemeyi mi tercih edersin? Yukarıdaki ders her satırı tek tek anlatıyor.

Kendi sorunu açıklamalı videoya dönüştür

Soruyu yaz veya fotoğrafını yükle; Solvequill çözümü adım adım anlatan bir video üretsin.

Solvequill'i aç